最近要整理板子,所以都要涉及一点,计算几何这块从来没有总结过,简单的整理一下,后面有时间慢慢补充起来。

三角形的面积

这里介绍的是用叉乘求三角形面积的方法,两个响亮的向量集(叉乘)的模可以解释为以 a 和 b 为邻边的平行四边形的面积,故求三角形的面积为:$S = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} | /2$ 。

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struct Point{
double x,y;
};

double getS(Point a,Point b,Point c) {
return ((b.x - a.x) * (c.y - a.y) - (b.y - a.y)*(c.x - a.x))/2;
}

多边形的面积

求多边形面积最基础的方法就是用剖分法来做的,就是把多边形分成若干个三角形,然后对每个三角形求面积,求面积,在有精度要求的情况下,不要用海伦-秦九昭公式,海伦公式可能在精度损失方面会比较严重,而且计算量很大。

多边形的重心

重心的横坐标 = 多边形每一个三角形的重心的横坐标 * 该三角形的权值(面积)/ 多边形总面积。
重心的纵坐标 = 多边形每一个三角形的重心的纵坐标 * 该三角形的权值(面积)/ 多边形总面积。

举例

nyoj 3-多边形重心问题

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//#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define For(i,m,n) for(int i=m;i< n;i++)
#define FFor(i,m,n) for(int i=m;i<=n;i++)
#define bug(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Pi acos(-1.0)
#define Pow(a,b) pow(a,b)
using namespace std;
typedef long long ll;

struct Point{
double x,y;
};

double getS(Point a,Point b,Point c) //返回三角形面积
{
return ((b.x - a.x) * (c.y - a.y) - (b.y - a.y)*(c.x - a.x))/2;
}

double getPS(Point p[],int n) //返回多边形面积。必须确保 n>=3,且多边形是凸多边形
{
double sumS=0;
FFor(i,2,n-1){
sumS+=getS(p[1],p[i],p[i+1]);
}
return sumS;
}

Point getPZ(Point p[],int n) //返回多边形重心
{
Point z;
double sumx = 0,sumy = 0;
double sumS = 0;
FFor(i,2,n-1){
double S = getS(p[1],p[i],p[i+1]);
sumS += S;
sumx += (p[1].x+p[i].x+p[i+1].x)*S;
sumy += (p[1].y+p[i].y+p[i+1].y)*S;
}
if(sumS==0){
z.x = 0,z.y = 0;
return z;
}
z.x = sumx / (sumS );
z.y = sumy / (sumS );
return z;
}

Point p[10005];

int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
int n;
scanf("%d",&n);
FFor(i,1,n)
scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
Point z = getPZ(p,n);
printf("%.3lf %.3lf\n",fabs(getPS(p,n)),(z.x+z.y)/3);
}
return 0;
}